ကွန်ပလက်စ်ကိန်း: တည်းဖြတ်မှု မူကွဲများ
Content deleted Content added
အရေးမကြီး →အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် |
အရေးမကြီး ကွန်ပလက်စ်ကိန်းဆိုင်ရာ လုပ်ထုံးများ section အား ဖြည့်စွက်ခဲ့သည်။ |
||
စာကြောင်း ၆ -
== အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် ==
သင်္ချာပညာ အဆင့်မြင့်လာသည်နှင့်အမျှ အချို့ကိစ္စများတွင် ကိန်းစစ်များဖြင့်သာ မလုံလောက်သည့် အခြေအနေကို ရောက်ရှိလာသည်။ သာဓကပြရသော် အချို့သော ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ (polynomial equations) မှာ ကိန်းစစ်အဖြေမရှိပါ။ ပိုလီနိုမီရယ်ညီမျှခြင်း <math>x^2-1=0</math> ကို <math>x</math> အတွက်ဖြေရှင်းပါက ၁ နှင့် -၁ ဟူ၍ ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေ နှစ်ခုရှိသော်လည်း၊ <math>x^2+1=0</math> ကို ဖြေရှင်းပါက ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေ (real root) တစ်ခုမျှမရှိသည်ကို တွေ့ရမည်။ (မည်သည့် ကိန်းစစ် <math>x</math> ကိုမဆို နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပြီးပါက <math>x^2</math> ၏တန်ဖိုးမှာ အနည်းဆုံး သုညဖြစ်ရာ တစ်သာထပ်ပေါင်းပါက ပေါင်းလဒ်မှာ သုညထက် အနည်းဆုံး တစ်ယူနစ်ပိုကြီးနေမည် ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>x^2+1</math> သည် သုညနှင့် မည်သို့မှ ညီမည်မဟုတ်ပါ။) ဤအခြေအနေမျိုးကို ကျော်လွှားနိုင်ရန် [[ကိန်း]]အသစ်များလိုအပ်လာသည်။ ထိုအခါ <math>x^2+1=0</math> ၏ (ကိန်းစစ်မဖြစ်နိုင်သော) ကိန်းရင်းအဖြေတစ်ခုကို ''i'' ဟု သတ်မှတ်ကာ ၎င်းကို ကိန်းယောင်ယူနစ် (imaginary unit) ဟုခေါ်သည်။ (ဖော်ပြပါ ပိုလီနိုမီရယ်ညီမျှခြင်းကို ရှင်းပါက <math>x^2=-1</math> ဟုထွက်ရာ ''i'' ကို -၁ ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (square root) ဟုလည်း ခေါ်ကြသည်။ ''i'' သည် -၁၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း ဖြစ်ပါက ''-i'' သည်လည်း -၁၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း တစ်ခုဖြစ်ကြောင်း သတိချပ်သင့်သည်။) အချုပ်ဆိုရသော် ''i'' ဆိုသည်မှာ နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက -၁ ရသည့် ကိန်းသစ်တစ်ခုဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ မည်သည့်ကိန်းစစ်မဆို နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက -၁ မရနိုင်ရာ ''i'' မှာ ကိန်းစစ်မဟုတ်သည့် ကိန်းအသစ်တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း ထင်ရှားသည်။
<br/>
ကွန်ပလက်စ်ကိန်းစုကို သင်္ကေတ <math>\mathbb{C}</math> သုံး၍ ရေးနိုင်သည်။▼
<br/>
ကိန်းစစ်တိုင်းမှာ ကွန်ပလက်စ်ကိန်းဖြစ်သည်။ သာဓကဆိုရသော် ကိန်းစစ် 4 ကို 4+0i ဟူ၍ ရေးနိုင်သောကြောင့် ကိန်းစစ် ၄မှာ ကိန်းစစ်ပိုင်း ၄ရှိပြီး ကိန်းယောင်ပိုင်း သုညရှိသည့် ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတစ်ခုဖြစ်သည်။ သို့သော် ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတိုင်း ကိန်းစစ်မဟုတ်ပါ။ ပို၍တိတိကျကျ ဆိုရသော် ကိန်းယောင်ပိုင်း သုညမဟုတ်သည့် ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတိုင်းမှာ ကိန်းစစ်များ မဟုတ်ကြပါ။
<br/>
ကွန်ပလက်စ်ကိန်းစုကို ပို၍စနစ်ကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ် တည်ဆောက်လိုပါက ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) ရှိ ကွင်း (ring) များ တိုးချဲ့တည်ဆောက်ခြင်းဟူသည့် သဘောတရားကို သုံးလေ့ရှိသည်။ ထိုသို့အဓိပ္ပာယ် ဖွင့်လိုပါက
<br />
==ဆက်သွယ်ချက်များနှင့် လုပ်ထုံးများ==
▲ကွန်ပလက်စ်ကိန်းစုကို သင်္ကေတ <math>\mathbb{C}</math> သုံး၍ ရေးနိုင်သည်။
===ကွန်ပလက်စ်ကိန်းနှစ်ခု ညီခြင်း===
ကွန်ပလက်စ်ကိန်းနှစ်ခု <math>z=a+bi</math> နှင့် <math>w=c+di</math> တို့ကို <math>a=c</math> နှင့် <math>b=d</math> ဖြစ်မှသာ တူသည်ဟုခေါ်ပြီး <math>z=w</math> ဟုရေးသည်။
<br/>
===ကွန်ပလက်စ်ကိန်းနှစ်ခု ပေါင်းခြင်းနှင့် မြောက်ခြင်း===
ကွန်ပလက်စ်ကိန်းများ၏ ပေါင်းခြင်းနှင့် မြောက်ခြင်းကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပါယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ <math>z=a+bi</math> နှင့် <math>w=c+di</math> တို့သည် ကွန်ပလက်စ်ကိန်းနှစ်ခုဖြစ်သော် <br/>
<math>z+w=(a+c)+(b+d)i</math><br/>
<math>zw=(ac-bd)+(ad+bc)i</math><br/>
ဟုသတ်မှတ်သည်။ ဤတွင် <math>a, b, c, d</math> တို့သည် ကိန်းစစ်များဖြစ်ကြသည်။ အထက်ပါအတိုင်း ပေါင်းခြင်းနှင့် မြောက်ခြင်းကို သတ်မှတ်ခဲ့သော် <math>(\mathbb{C} , + , \dot)</math> သည်အပေါင်းထပ်တူရကိန်း <math>0=0+0i</math> နှင့် အမြောက်ထပ်တူရကိန်း <math>1=1+0i</math> ရှိသည့် field တစ်ခုဖြစ်ကြောင်းတွေ့နိုင်သည်။ ထို့ပြင်
<br/>
:<math>-z=(-a)+(-b)i</math>
နှင့် <math>z\ne 0</math> ဖြစ်ပါက
:<math>\frac{1}{z} = \frac{a}{a^2+b^2} +\frac{-b}{a^2+b^2} i</math>
ဖြစ်သည်။
===ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတစ်ခု၏ အတိုင်းအတာ (magintude)===
ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတစ်ခု <math>z=a+bi</math> ၏ အတိုင်းအတာကို
:<math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(Re(z))^2+(Im(z))^2}</math>
ဖြင့်သတ်မှတ်သည်။ <math>z</math> ကို Coordinate ပြင်ညီပေါ်တွင် <math>(a, b)</math> အားကိုယ်စားပြုသည့် အမှတ်တစ်ခုဟု မြင်ကြည့်သော် <math>|z|</math> သည် မူလမှတ် (origin) နှင့် <math>(a, b)</math> ကြားရှိ အကွာအဝေးပင်ဖြစ်သည်။ အဓိပ္ပါယ်သတ်မှတ်ချက်အရ <math>|z|</math> သည် အမြဲတစေ အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်တစ်ခုဖြစ်လေသည်။ ထို့ပြင်
:<math>Re(z)\le |z|, Im(z) \le |z|</math>
ဖြစ်ကြောင်းကိုလည်း သတိပြုသင့်သည်။ ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတို့၏ အတိုင်းအတာသည် ကိန်းစစ်တစ်ခုဖြစ်သည့်အလျောက် ယင်းနှင့်သက်ဆိုင်သော မညီမျှချက်များကိုလည်း ဖော်ထုတ်နိုင်ပေသည်။ ဥပမာအနေဖြင့်
:<math>||z|-|w||\le|z+w|\le |z| + |w|</math>
သည် တြိဂံမညီမျှချက် (Triangle inequality) အဖြစ် လူသိများသည်။
<br/>
===ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတစ်ခု၏ ကွန်ဂျူဂိတ်===
ကွန်ပလက်စ်ကိန်း <math>z=a+bi</math> ၏ကွန်ဂျူဂိတ်ကို <math>\overline{z}=a-bi</math> ဟုသတ်မှတ်သည်။ <math>z</math> ကို Coordinate ပြင်ညီပေါ်တွင် <math>(a, b)</math> အားကိုယ်စားပြုသည့် အမှတ်တစ်ခုဟု မြင်ကြည့်သော် <math>\overline{z}</math> သည် <math>(a, b)</math> ကို x ဝင်ရိုးအတိုင်း အလင်းပြန် (reflect) လုပ်ရာမှ ရရှိလာသည်အမှတ်ပင်ဖြစ်သည်။
<br/>
ကွန်ပလက်စ်ကိန်း <math>z</math> ၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်းကို <math>z</math> နှင့် <math>\overline{z}</math> တို့ကိုသာသုံး၍ အောက်ပါအတိုင်း အလွယ်တကူပြန်လည်ရေးနိုင်သည်။
:<math>Re(z)=\frac{z+\overline{z}}{2}, Im(z)=\frac{z-\overline{z}}{2i}</math>
ထို့အပြင် <math>|z|</math> နှင့်ဆက်စပ်၍လည်း အောက်ပါမှန်ကန်ချက်ကို အလွယ်တကူရရှိနိုင်သည်။
:<math>z\overline{z} = (a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2 = |z|^2</math>
▲ကွန်ပလက်စ်ကိန်းစုကို ပို၍စနစ်ကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ် တည်ဆောက်လိုပါက ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) ရှိ ကွင်း (ring) များ တိုးချဲ့တည်ဆောက်ခြင်းဟူသည့် သဘောတရားကို သုံးလေ့ရှိသည်။ ထိုသို့အဓိပ္ပာယ် ဖွင့်လိုပါက <math>\mathbb{C}</math> ဆိုသည်မှာ <math>\mathbb{R}</math> အပေါ်တွင် ကိန်းရင်းများဖြင့် ထပ်ဖြည့်တည်ဆောက်ထားသည့်အစု (algebraic closure of <math>\mathbb{R}</math>) ဖြစ်သည်။
[[Category:သင်္ချာ]]
| |||