ဧကန်မုချဖြစ်ခြင်းနှင့် လုံလောက်ခြင်း

ယုတ္တိဗေဒ (logic) ဆိုင်ရာ ကျိုးကြောင်းပြ အဆို (argument) တွင် ဧကန်မုချဖြစ်ခြင်း (necessity) နှင့် လုံလောက်ခြင်း (sufficiency) ဟူသည့် သဘောနှစ်မျိုးရှိသည်။ ဤသဘောနှစ်မျိုးကို အဆိုများကြား ဆက်နွယ်ချက်ကို လေ့လာရာတွင် တွေ့နိုင်သည်။

ကျိုးကြောင်းပြ အဆို (conditional statement) တစ်ခုတွင် ဧကန်မုချ အကျိုးရလဒ် (necessary condition) ဟူသည်မှာ ပေးထားချက်များမှန်ပါက မလွှဲမသွေ ဧကန်မုချ မှန်ကိုမှန်ရမည့် အဆို ဖြစ်သည်။

ကျိုးကြောင်းပြ အဆိုတစ်ခုတွင် လုံလောက်သည့် ပေးထားချက် (sufficient condition) ဟူသည်မှာ နိဂုံးကောက်ချက်တစ်ခု ဆွဲရန်အတွက် လုံလောက်သည့် ပေးထားချက်အဆို ဖြစ်သည်။

အကယ်၍ အဆိုတစ်ခုသည် အခြားအဆိုတစ်ခုအတွက် ဧကန်မုချ အကျိုးရလဒ် လည်းဖြစ်၊ လုံလောက်သည့် ပေးထားချက် လည်းဖြစ်ပါက ၎င်းအဆိုနှစ်ခုကို (အမှန်တန်ဖိုး - truth value) ထပ်တူညီသည် (equivalent) ဟု ခေါ်သည်။

သာဓက

ဧကန်မုချဖြစ်ခြင်း ၊ လုံလောက်ခြင်းနှင့် ထပ်တူညီခြင်း (equivalency) တို့ကို ရှင်းလင်းနိုင်ရန် အောက်ပါ သာဓကကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။

$x$ သည် ကိန်းစစ်တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ၎င်း ကိန်းစစ် $x$ ၏ တန်ဖိုးကို မသိဘဲ $x$ သည် ကိန်းစစ်တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်းသာ သိထားသည် ဆိုပါစို့။ ဤ အခြေအနေတွင် အောက်ပါအဆိုများကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။

အဆို ၁။ အဆိုပါ ကိန်းစစ် $x$ ကို ၄ ဖြင့် စား၍ ပြတ်သည်။

အဆို ၂။ အဆိုပါ ကိန်းစစ် $x$ ကို ၂ ဖြင့် စား၍ ပြတ်သည်။

အဆို ၃။ အဆိုပါ ကိန်းစစ် $x$ သည် စုံကိန်း ဖြစ်သည်။

အဆို ၄။ အဆိုပါ ကိန်းစစ် $x$ သည် ကိန်းပြည့် ဖြစ်သည်။

အကယ်၍ အဆို ၁ မှန်ပါက အဆို ၂ လည်း မှန်ရမည် ဖြစ်သည်။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် ၄ ဖြင့်စား၍ပြတ်သော ကိန်းစစ်တိုင်းကို ၂ ဖြင့် စား၍လည်း ပြတ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဤအချက်ကို သင်္ကေတသုံး၍ အဆို ၁ $\implies$ အဆို ၂ ဟု ရေးနိုင်သည်။

အကယ်၍ အဆို ၂ မှန်ပါက အဆို ၃ လည်း မှန်ရမည် ဖြစ်သည်။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် ၂ ဖြင့်စား၍ ပြတ်သော ကိန်းစစ်တိုင်းမှာ စုံကိန်းဖြစ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဤအချက်ကို သင်္ကေတသုံး၍ အဆို ၂ $\implies$ အဆို ၃ ဟု ရေးနိုင်သည်။

အကယ်၍ အဆို ၃ မှန်ပါက အဆို ၂ လည်း မှန်ရမည် ဖြစ်သည်။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် စုံကိန်းတိုင်းကို ၂ ဖြင့်စား၍ ပြတ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဤအချက်ကို သင်္ကေတသုံး၍ အဆို ၃ $\implies$ အဆို ၂ ဟု ရေးနိုင်သည်။

အထက်ပါနှစ်ချက် အဆို ၂ $\implies$ အဆို ၃ နှင့် အဆို ၃ $\implies$ အဆို ၂ ကို ပေါင်း၍ အဆို ၂ $\iff$ အဆို ၃ ဟု နှစ်ဘက်သွားမြားကို သုံး၍ အတိုချုံး ရေးနိုင်သည်။

အကယ်၍ အဆို ၃ မှန်ပါက အဆို ၄ လည်း မှန်ရမည် ဖြစ်သည်။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် စုံကိန်းတိုင်းသည် ကိန်းပြည့်ဖြစ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဤအချက်ကို သင်္ကေတသုံး၍ အဆို ၃ $\implies$ အဆို ၄ ဟု ရေးနိုင်သည်။

အထက်ပါ ကျိုးကြောင်းပြ အချက်များ (implications) ကို စုပေါင်း၍ ကျိုးကြောင်းပြ လမ်းစဉ် (implication sequence) ကို အောက်ပါအတိုင်း သင်္ကေတသုံး၍ ရေးနိုင်သည်။

အဆို ၁ $\implies$ အဆို ၂ $\iff$ အဆို ၃ $\implies$ အဆို ၄

ပထဆုံးမြားနှင့် နောက်ဆုံးမြားကို နှစ်ဘက်သွားမြားများဖြင့် အစားမထိုးနိုင်ကြောင်း သတိပြုပါ။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် အဆို ၂ မှန်တိုင်း အဆို ၁ မှန်သည်ဟု မဆိုသာ၊ အဆို ၄ မှန်တိုင်း အဆို ၃ မှန်သည်ဟု မဆိုသာသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ တနည်းဆိုသော် ၂ ဖြင့်စား၍ ပြတ်သော ကိန်းစစ်တိုင်းကို ၄ ဖြင့်စား၍ ပြတ်သည်ဟု မဆိုသာ၊ ဥပမာ $x$ သည် ၆ ဖြစ်ပါက ၂ ဖြင့်စား၍ ပြတ်၍ အဆို ၂ မှန်သော်လည်း၊ ၄ ဖြင့်စား၍ မပြတ်သောကြောင့် အဆို ၁ မမှန်ပါ။ ကိန်းပြည့်တိုင်းမှာ စုံကိန်းဖြစ်သည်ဟုလည်း မဆိုသာ၊ ဥပမာ $x$ သည် ၁၁ ဖြစ်ပါက ကိန်းပြည့်ဖြစ်၍ အဆို ၄ မှန်သော်လည်း၊ ၁၁ မှာ စုံကိန်း မဟုတ်သောကြောင့် အဆို ၃ မမှန်ပါ။

ဧကန်မုချဖြစ်ခြင်း

အဆို က နှင့် အဆို ခ ဟူ၍ အဆိုနှစ်ခု ရှိသည်ဆိုပါစို့။ အဆို က မှန်လျှင် အဆို ခ မှန်ကို မှန်ရမည် (သင်္ကေတအားဖြင့် အဆို က $\implies$ အဆို ခ) ဖြစ်ပါက အဆို ခ ကို အဆို က ၏ ဧကန်မုချ အကျိုးရလဒ် (necessary condition) ဟု ခေါ်သည်။ တနည်းဆို သော် အဆို ခ သည် အဆို က ၏ ဧကန်မုချ အကျိုး ဖြစ်သည်။

အထက်ပါ သာဓကကို ကြည့်ပါ။ အဆို ၁ မှန်ပါက အဆို ၂ သည် မှန်ကို မှန်ရမည် ဖြစ်သောကြောင့် အဆို ၂ ကို အဆို ၁ ၏ ဧကန်မုချအကျိုး ဟု ခေါ်သည်။ ထို့အတူ၊ အဆို ၃ သည် အဆို ၂၏၊ အဆို ၄ သည် အဆို ၃၏ ဧကန်မုချအကျိုးများ အသီးသီး ဖြစ်ကြသည်။ အဆို ၁ မှန်လျှင် အဆို ၂ လည်းမှန်၍၊ အဆို ၂ မှန်လျှင်၊ အဆို ၃ လည်းမှန်ရာ၊ အဆို ၃ သည်လည်း အဆို ၁ ၏ ဧကန်မုချအကျိုး တစ်ခုဖြစ်သည်။ ထို့အတူ၊ အဆို ၄ သည်လည်း အဆို ၁ ၏ ဧကန်မုချ အကျိုး ဖြစ်သည်။ အကျဉ်းချုပ်သော်၊ အဆို ၂၊ အဆို ၃ နှင့် အဆို ၄ တို့သည် အဆို ၁ ၏ ဧကန်မုချ အကျိုး၊ အဆို ၃ နှင့် အဆို ၄ တို့သည် အဆို ၂ ၏ ဧကန်မုချ အကျိုး၊ အဆို ၄ သည် အဆို ၃ ၏ ဧကန်မုချ အကျိုးများ အသီးသီး ဖြစ်ကြသည်။

လုံလောက်ခြင်း

အဆို က နှင့် အဆို ခ ဟူ၍ အဆိုနှစ်ခု ရှိသည်ဆိုပါစို့။ အဆို က မှန်လျှင် အဆို ခ မှန်ကို မှန်ရမည် (သင်္ကေတအားဖြင့် အဆို က $\implies$ အဆို ခ) ဖြစ်ပါက အဆို က ကို အဆို ခ ၏ လုံလောက်သော ပေးထားချက် (sufficient condition) ဟု ခေါ်သည်။ တနည်းဆိုသော် အဆို က သည် အဆို ခ ၏ လုံလောက်သော အကြောင်း ဖြစ်သည်။

အထက်ပါ သာဓကကိုပင် ပြန်ကြည့်ပါ။ ကိန်း $x$ သည် ကိန်းစစ်တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟုသာ သိထားသည့် အခြေအနေတွင် အဆို ၂ မှန်သည်ဟု ကောက်ချက်ဆွဲလိုပါက အဆို ၁ မှန်ကြောင်းပြရန်သာလိုသည်။ တနည်းဆိုရသော် အဆို ၂ မှန်ကြောင်း ကောက်ချက်ဆွဲလိုလျှင် အဆို ၁ မှန်ကြောင်း သိရုံမျှနှင့် လုံလောက်သည်။ (ကိန်း $x$ ကို ၂ ဖြင့်စား၍ ပြတ်သည်ဟု ကောက်ချက်ဆွဲလိုလျှင် ကိန်း $x$ ကို ၄ ဖြင့်စား၍ ပြတ်သည်ဟု သိထားပါက လုံလောက်သည်။ ၄ ဖြင့်စား၍ ပြတ်သော ကိန်းတိုင်းကို ၂ ဖြင့်လည်း စား၍ ပြတ်သောကြောင့် ဖြစ်၏။) ထို့ကြောင့် အဆို ၁ သည် အဆို ၂ ၏ လုံလောက်သည့် ပေးထားချက် အကြောင်းဖြစ်သည်။ အလားတူပင် အဆို ၂ သည် အဆို ၃ ၏၊ အဆို ၃ သည် အဆို ၄၏ လုံလောက်သည့် အကြောင်းများ အသီးသီးဖြစ်ကြသည်။ အဆို ၃ မှန်သည်ဟု ကောက်ချက်ဆွဲရန် အဆို ၁ မှန်သည်၏ သိရုံမျှနှင့်လည်း လုံလောက်သည်၊ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် အဆို ၁ မှန်ပါက၊ အဆို ၂ လည်းမှန်ပြီး၊ အဆို ၂ မှန်ပါက အဆို ၃ လည်း မှန်သောကြောင့်ပင်။ (အထက်ပါ ကျိုးကြောင်းပြ လမ်းစဉ်ကို ကြည့်ပါ။) အကျုဉ်းချုပ်သော် အဆို ၁ သည် အဆို ၂၊ အဆို ၃ နှင့် အဆို ၄ တို့၏ လုံလောက်သော အကြောင်း၊ အဆို ၂ သည် အဆို ၃ နှင့် အဆို ၄ တို့၏ လုံလောက်သော အကြောင်း၊ အဆို ၃ သည် အဆို ၄ ၏ လုံလောက်သော အကြောင်းများ အသီးသီး ဖြစ်ကြသည်။

ဧကန်မုချဖြစ်ခြင်းနှင့် လုံလောက်ခြင်းတို့ ဆက်နွယ်ချက်

အဆို က သည် အဆို ခ ၏ ဧကန်မုချ အကျိုးရလဒ်ဖြစ်ရုံမျှဖြင့် အဆို က သည် အဆို ခ ၏ လုံလောက်သော အကြောင်းဖြစ်သည်ဟု မဆိုသာပါ။ အထက်ပါ သာဓကတွင် အဆို ၁ မှန်ပါက အဆို ၂ မှန်၍၊ (သင်္ကေတအားဖြင့် အဆို ၁ $\implies$ အဆို ၂ ဖြစ်၍၊) အဆို ၂ မှာ အဆို ၁ ၏ ဧကန်မုချ အကျိုးရလဒ် ဖြစ်သော်လည်း၊ အဆို ၂ မှန်ပါက အဆို ၁ မှန်သည်ဟု ကောက်ချက်မဆွဲနိုင်ကြောင်း၊ (သင်္ကေတအားဖြင့် အဆို ၂ $\not \implies$ အဆို ၁ ဖြစ်ကြောင်း၊) သတိပြုပါ။ ထို့ကြောင့် အဆို ၂ သည် အဆို ၁ အတွက် လုံလောက်သော ပေးထားချက် အကြောင်း မဟုတ်ပါ။

အလားတူပင် အဆို ဂ သည် အဆို ဃ ၏ လုံလောက်သော အကြောင်းဖြစ်ရုံမျှဖြင့် အဆို ဂ သည် အဆို ဃ ၏ ဧကန်မုချ အကျိုးဖြစ်သည်ဟု မဆိုသာပါ။ အထက်ပါ သာဓကတွင် အဆို ၃ မှန်ပါက အဆို ၄ မှန်၍၊ (သင်္ကေတအားဖြင့် အဆို ၃ $\implies$ အဆို ၄ ဖြစ်၍၊) အဆို ၃ မှာ အဆို ၄ အတွက် လုံလောက်သော အကြောင်း ဖြစ်သော်လည်း၊ အဆို ၄ မှန်ပါက အဆို ၃ မှန်သည်ဟု ကောက်ချက်မဆွဲနိုင်ကြောင်း၊ (သင်္ကေတအားဖြင့် အဆို ၄ $\not \implies$ အဆို ၃ ဖြစ်ကြောင်း၊) သတိပြုပါ။ ထို့ကြောင့် အဆို ၃ သည် အဆို ၄ ၏ ဧကန်မုချ အကျိုးရလဒ် မဟုတ်ပါ။

ထပ်တူညီခြင်း

အဆို က နှင့် အဆို ခ ဟူ၍ အဆိုနှစ်ခု ရှိသည်ဆိုပါစို့။ အဆိုက သည် အဆို ခ ၏ လုံလောက်သော အကြောင်းဖြစ်ပြီး၊ (သင်္ကေတအားဖြင့် အဆို က $\implies$ အဆို ခ ဖြစ်ပြီး၊) အဆို က သည် အဆို ခ ၏ ဧကန်မုချအကျိုး လည်းဖြစ်သည်၊ (သင်္ကေတအားဖြင့် အဆို ခ $\implies$ အဆို က လည်းဖြစ်သည်၊) ဆိုပါစို့။ တနည်းဆိုသော် အဆို က $\iff$ အဆို ခ ဖြစ်သည်ဆိုပါစို့။ ထို အဆို က နှင့် အဆို ခ ကို အမှန်တန်ဖိုး (truth value) ထပ်တူညီသော အဆိုများ (equivalent statements) ဟု ခေါ်သည်။

အထက်ပါ သာဓကတွင် အဆို ၂ နှင့် အဆို ၃ ကို ကြည့်ပါ။ "အဆို ၂ $\implies$ အဆို ၃" ဖြစ်၍ အဆို ၂ သည် အဆို ၃ ၏ လုံလောက်သော ပေးထားချက် အကြောင်းတရား ဖြစ်သည်။ "အဆို ၃ $\implies$ အဆို ၂" ဖြစ်၍ အဆို ၂ သည် အဆို ၃ ၏ ဧကန်မုချ အကျိုးရလဒ်လည်းဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် အဆို ၂ သည် အဆို ၃ ၏ လုံလောက်သော အကြောင်းတရား ဖြစ်သလို၊ ဧကန်မုချ အကျိုးရလဒ်လည်း ဖြစ်သည်။ တနည်းအားဖြင့် ဆိုသော် အဆို ၂ နှင့် အဆို ၃ နှစ်ခု အနက် တစ်ခု မှန်သည်ဟု သိသည်နှင့် အခြားတစ်ခုလည်း မှန်ကို မှန်ရမည်၊ တစ်ခု မှားသည်ဟု သိသည်နှင့် အခြားတစ်ခုလည်း မှားကို မှားရမည်ဟု ကောက်ချက်ချနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် အဆို ၂ နှင့် အဆို ၃ မှာ အမှန်တန်ဖိုး ထပ်တူညီသည်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။

စင်စစ်တွင် ထို့သို့ အမှန်တန်ဖိုး ထပ်တူညီသည့် အဆိုများကို အသုံးပြု၍ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ ရေးသားခြင်းဖြစ်သည်။ အထက်ပါ သာဓကတွင် ၂ ဖြင့်စား၍ ပြတ်ခြင်းဟူသည်မှာ စုံကိန်းဖြစ်ခြင်း၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် ဂုဏ်သတ္တိ (defining property) ဖြစ်လေသည်။