ကွန်ပလက်စ်ကိန်း

"ကွန်ပလက်စ်ကိန်း"ကို ဤနေရာသို့ ညွှန်းသည်။ ပိုမိုကျယ်ပြန့်သော ကိန်းများအကြောင်းအတွက် ကိန်းကို ကြည့်ပါ။

ကိန်းထွေး (Complex Number) ဆိုသည်မှာ ကိန်းစစ် (real) နှင့် ကိန်းတေး (imaginary) အပိုင်းတို့ ပါဝင်သော ကိန်းလုံးတွဲဖြစ်သည်။ ၎င်းကို a + bi ဆိုသည့် ပုံစံဖြင့် ရေးသားနိုင်ပြီး a နှင့် b တို့မှာ ကိန်းစစ်များ ဖြစ်ကြပြီး i မှာ သုံးနေကျ ကိန်းတေး၏ ယူနစ်ဖြစ်ပြီး i²= -1 ဆိုသည့် ဂုဏ်သတ္တိ ရှိသည်။ ကိန်းထွေးတွင် သာမန်ကိန်းစစ်များ ပါဝင်ပြီး အခြားကိန်းအပိုများကို ထည့်သွင်းထားခြင်းဖြင့် ပေါင်းခြင်းနှင့် မြှောက်ခြင်းကို ချဲ့ထွင်ထားခြင်းပင် ဖြစ်သည်။

ကိန်းထွေး တစ်ခုကို ကိန်းထွေးပြင်ကို ပြသသည့် အာဂန်ပုံဖြင့် ပြနိုင်သည်။

အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်

သင်္ချာပညာ အဆင့်မြင့်လာသည်နှင့်အမျှ အချို့ကိစ္စများတွင် ကိန်းစစ်များဖြင့်သာ မလုံလောက်သည့် အခြေအနေကို ရောက်ရှိလာသည်။ သာဓကပြရသော် အချို့သော ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ (polynomial equations) မှာ ကိန်းစစ်အဖြေမရှိပါ။ ပိုလီနိုမီရယ်ညီမျှခြင်း $x^{2}-1=0$ ကို $x$ အတွက်ဖြေရှင်းပါက ၁ နှင့် -၁ ဟူ၍ ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေ နှစ်ခုရှိသော်လည်း၊ $x^{2}+1=0$ ကို ဖြေရှင်းပါက ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေ (real root) တစ်ခုမျှမရှိသည်ကို တွေ့ရမည်။ (မည်သည့် ကိန်းစစ် $x$ ကိုမဆို နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပြီးပါက $x^{2}$ ၏တန်ဖိုးမှာ အနည်းဆုံး သုညဖြစ်ရာ တစ်သာထပ်ပေါင်းပါက ပေါင်းလဒ်မှာ သုညထက် အနည်းဆုံး တစ်ယူနစ်ပိုကြီးနေမည် ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် $x^{2}+1$ သည် သုညနှင့် မည်သို့မှ ညီမည်မဟုတ်ပါ။) ဤအခြေအနေမျိုးကို ကျော်လွှားနိုင်ရန် ကိန်းအသစ်များလိုအပ်လာသည်။ ထိုအခါ $x^{2}+1=0$ ၏ (ကိန်းစစ်မဖြစ်နိုင်သော) ကိန်းရင်းအဖြေတစ်ခုကို i ဟု သတ်မှတ်ကာ ၎င်းကို ကိန်းတေး (imaginary unit) ဟုခေါ်သည်။ (ဖော်ပြပါ ပိုလီနိုမီရယ်ညီမျှခြင်းကို ရှင်းပါက $x^{2}=-1$ ဟုထွက်ရာ i ကို -၁ ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (square root) ဟုလည်း ခေါ်ကြသည်။ i သည် -၁၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း ဖြစ်ပါက -i သည်လည်း -၁၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း တစ်ခုဖြစ်ကြောင်း သတိချပ်သင့်သည်။) အချုပ်ဆိုရသော် i ဆိုသည်မှာ နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက -၁ ရသည့် ကိန်းသစ်တစ်ခုဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ မည်သည့်ကိန်းစစ်မဆို နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက -၁ မရနိုင်ရာ i မှာ ကိန်းစစ်မဟုတ်သည့် ကိန်းအသစ်တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း ထင်ရှားသည်။
ကိန်းတေးယူနစ်ကို အသုံးပြု၍ ကိန်းထွေးများကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ကိန်းထွေးတစ်ခု ဆိုသည်မှာ a+bi သဏ္ဌာန်ရှိသည့် ကိန်းတစ်တွဲကို ဆိုသည်။ ဤတွင် a နှင့် b မှာ ကိန်းစစ်များဖြစ်သည်။ သာဓက၊ $2+3i,-2+(1/3)i,4-\pi i$။ ကိန်းထွေး -2+(1/3)i ၏ ကိန်းစစ်ပိုင်း (real part) မှာ -2 ဖြစ်ပြီး ကိန်းတေးပိုင်း (imaginary part) မှာ 1/3 ဖြစ်သည်။ ယေဘုယျဆိုရသော် ကိန်းထွေး a+bi ၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းမှာ a ဖြစ်၍၊ ကိန်းတေးပိုင်းမှာ b ဖြစ်သည်။ ကိန်းထွေး $z$ ၏ကိန်းစစ်ပိုင်းကို $Re(z)$ ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ကိန်းတေးပိုင်းကို $Im(z)$ ဖြင့်လည်းကောင်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဥပမာ $Re(-2+(1/3)i)=-2$ နှင့် $Im(-2+(1/3)i)=1/3$ ဖြစ်သည်။
ကိန်းထွေးအစုကို သင်္ကေတ $\mathbb {C}$ သုံး၍ ရေးနိုင်သည်။
ကိန်းစစ်တိုင်းမှာ ကိန်းထွေးဖြစ်သည်။ သာဓကဆိုရသော် ကိန်းစစ် 4 ကို 4+0i ဟူ၍ ရေးနိုင်သောကြောင့် ကိန်းစစ် ၄မှာ ကိန်းစစ်ပိုင်း ၄ရှိပြီး ကိန်းယောင်ပိုင်း သုညရှိသည့် ကိန်းထွေးတစ်ခုဖြစ်သည်။ သို့သော် ကိန်းထွေးတိုင်း ကိန်းစစ်မဟုတ်ပါ။ ပို၍တိတိကျကျ ဆိုရသော် ကိန်းတေးပိုင်း သုညမဟုတ်သည့် ကိန်းထွေးတိုင်းမှာ ကိန်းစစ်များ မဟုတ်ကြပါ။
ကိန်းထွေးစုကို ပို၍စနစ်ကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ် တည်ဆောက်လိုပါက သဘောနက် အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) ရှိ ကွင်း (ring) များ တိုးချဲ့တည်ဆောက်ခြင်းဟူသည့် သဘောတရားကို သုံးလေ့ရှိသည်။ ထိုသို့အဓိပ္ပာယ် ဖွင့်လိုပါက ကိန်းထွေးစု ဆိုသည်မှာ $\mathbb {R}$ အပေါ်တွင် ကိန်းရင်းများဖြင့် ထပ်ဖြည့်တည်ဆောက်ထားသည့်အစု (algebraic closure of $\mathbb {R}$) ဖြစ်သည်။

ဆက်သွယ်ချက်များနှင့် လုပ်ထုံးများ

ကိန်းထွေးနှစ်ခု ညီခြင်း

ကိန်းထွေးနှစ်ခု $z=a+bi$ နှင့် $w=c+di$ တို့ကို $a=c$ နှင့် $b=d$ ဖြစ်မှသာ တူသည်ဟုခေါ်ပြီး $z=w$ ဟုရေးသည်။

ကိန်းထွေးနှစ်ခု ပေါင်းခြင်းနှင့် မြောက်ခြင်း

ကိန်းထွေးများ၏ ပေါင်းခြင်းနှင့် မြောက်ခြင်းကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ $z=a+bi$ နှင့် $w=c+di$ တို့သည် ကိန်းထွေး နှစ်ခုဖြစ်သော်
$z+w=(a+c)+(b+d)i$
$zw=(ac-bd)+(ad+bc)i$
ဟုသတ်မှတ်သည်။ ဤတွင် $a,b,c,d$ တို့သည် ကိန်းစစ်များဖြစ်ကြသည်။ အထက်ပါအတိုင်း ပေါင်းခြင်းနှင့် မြောက်ခြင်းကို သတ်မှတ်ခဲ့သော် $(\mathbb {C} ,+,.)$ သည်အပေါင်းထပ်တူရကိန်း $0=0+0i$ နှင့် အမြှောက်ထပ်တူရကိန်း $1=1+0i$ ရှိသည့် field တစ်ခုဖြစ်ကြောင်းတွေ့နိုင်သည်။ ထို့ပြင်

$-z=(-a)+(-b)i$

နှင့် $z\neq 0$ ဖြစ်ပါက

${\frac {1}{z}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}+{\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}i$

ဖြစ်သည်။ ကိန်းထွေး နှစ်ခု၏ ပေါင်းခြင်းကို ဗှတ္တာများပေါင်းခြင်းဖြင့် အလွယ်တကူသရုပ်ဖော်နိုင်သည်။ ကိန်းထွေးများ မြှောက်ခြင်းကိုမူ ပိုလာပုံစံ (polar form) ပြောင်းပြီးမှသာလျှင် သိသိသာသာသရုပ်ဖော်နိုင်မည်ဖြစ်သည်။

ကိန်းထွေး၏ အတိုင်းအတာ ပမာဏ (magintude)

ကိန်းထွေးတစ်ခု $z=a+bi$ ၏ အတိုင်းအတာ ပမာဏကို

$|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {(Re(z))^{2}+(Im(z))^{2}}}$

ဖြင့်သတ်မှတ်သည်။ $z$ ကို Coordinate ပြင်ညီပေါ်တွင် $(a,b)$ အားကိုယ်စားပြုသည့် အမှတ်တစ်ခုဟု မြင်ကြည့်သော် $|z|$ သည် မူလမှတ် (origin) နှင့် $(a,b)$ ကြားရှိ အကွာအဝေးပင်ဖြစ်သည်။ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ $|z|$ သည် အမြဲတစေ အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်တစ်ခုဖြစ်လေသည်။ ထို့ပြင်

$Re(z)\leq |z|,Im(z)\leq |z|$

ဖြစ်ကြောင်းကိုလည်း သတိပြုသင့်သည်။ ကိန်းထွေးတို့၏ ပမာဏသည် ကိန်းစစ်တစ်ခု ဖြစ်သည့်အလျောက် ယင်းနှင့်သက်ဆိုင်သော မညီမျှချက်များကိုလည်း ဖော်ထုတ်နိုင်ပေသည်။ ဥပမာအနေဖြင့်

$||z|-|w||\leq |z+w|\leq |z|+|w|$

သည် တြိဂံမညီမျှချက် (Triangle inequality) အဖြစ် လူသိများသည်။

ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ ကွန်ဂျူဂိတ်

ကိန်းထွေး $z=a+bi$ ၏ကွန်ဂျူဂိတ်ကို ${\overline {z}}=a-bi$ ဟုသတ်မှတ်သည်။ $z$ ကို Coordinate ပြင်ညီပေါ်တွင် $(a,b)$ ကို ကိုယ်စားပြုသည့် အမှတ်တစ်ခုဟု မြင်ကြည့်သော် ${\overline {z}}$ သည် $(a,b)$ ကို x ဝင်ရိုးအတိုင်း အလင်းပြန် (reflect) လုပ်ရာမှ ရရှိလာသည်အမှတ်ပင်ဖြစ်သည်။
ကိန်းထွေး $z$ ၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းနှင့် ကိန်းတေးပိုင်းကို $z$ နှင့် ${\overline {z}}$ တို့ကိုသာသုံး၍ အောက်ပါအတိုင်း အလွယ်တကူပြန်လည်ရေးနိုင်သည်။

$Re(z)={\frac {z+{\overline {z}}}{2}},Im(z)={\frac {z-{\overline {z}}}{2i}}$

ထို့အပြင် $|z|$ နှင့်ဆက်စပ်၍လည်း အောက်ပါမှန်ကန်ချက်ကို အလွယ်တကူရရှိနိုင်သည်။

$z{\overline {z}}=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}=|z|^{2}$