အပိုင်းသဘော ရပ်ဝန်း

သင်္ချာတွင် အပိုင်းအစုသဘော (en:closeness (mathematics)) ရှိခြင်းအားဖြင့် အာကာသ (ခေါ်) ရပ်ဝန်း (ခေါ်) စပေ့စ် အဖြစ် မြောက်သော်လည်း အတိုင်းဆဖော် ရပ်ဝန်းများ ကဲ့သို့ အကွာအဝေးသဘော တခုခု အတိအပ ရှိရန်မူ မလိုသေးသည့် စဉ်းစားတွေးခေါ်ပုံအားဖြင့် ရပ်ဝန်း(space)များသည် အပိုင်းသဘော ရပ်ဝန်း (အင်္ဂလိပ်: topological space) အဖြစ် အပိုင်းသဘော (en:topology) ၌ ရှိပေသည်။

"တဝိုက်ငယ်" အားဖြင့် အဓိပ္ပါယ် ဖွင့်ဆိုပုံ

$X$ က အစုတစ်ခု ဖြစ်အံ့၊ ၎င်း $X$ ၏ အစုဝင်များက မည်သို့သော သင်္ချာဇာတ်ကောင်များ ဖြစ်နေစေကာမူ အမှတ်များ (points) ဟု ခေါ်ဆိုခြင်းခံနိုင်၏။ ${\mathcal {N}}$ က အစု$X$ ၏ မည်သည့် အမှတ် $x$ ကိုမဆို $X$ ၏ အစုပိုင်းတခုခု ဖြစ်သည့် သက်ဆိုင်ရာ ${\mathcal {N}}(x)$ ထံသို့ ဆက်သွယ်ပေးသော ဆက်သွယ်ချက် ဆိုပါစို့။ ၎င်း $N$ သည် (${\mathcal {N}}$ အားဖြင့် ဆက်သွယ်အပ်သော) $x$ ၏ တဝိုက်ငယ် (neighbourhoods) မည်၏။ ထိုအခါမျိုးတွင် ဆက်သွယ်ပုံ ${\mathcal {N}}$ က အောက်ပါ မှတ်ရည်ချက်များ (axioms)နှင့် ကိုက်ညီရပေမည်။

1. ($N\in {\mathcal {N}}(x)$ ဟူသကဲ့သို့) $N$ က $x$ ၏ တဝိုက်ငယ် တစ်ခု ဖြစ်အံ့၊ $x\in N$ ဟု ဖြစ်နေပြီးလတ္တံ့။ ဆိုလိုသည်မှာ အမှတ်တစ်ခုချင်းစီအတွက် တဝိုက်ငယ် အမျိုးမျိုး ဆွဲသားနိုင်သည်၊ ထိုတဝိုက်ငယ် တမျိုးချင်းစီတိုင်း၌ ထိုအမှတ် ပါဝင်နေ၍သာ ထိုအမှတ်၏ တဝိုက်ငယ်ဟု ခေါ်ထိုက်ခြင်း ဖြစ်နှင့်၏။
2. $X$ ၏ အစုပိုင်း (တစိတ်တပိုင်း) ဖြစ်ထသော $N$ တခုခုက $x$ ၏ တဝိုက်ငယ်မည်ရာ အပိုင်းတခုခုကို တစ်ခုလုံး အုပ်ငုံမိအံ့၊ ၎င်း $N$ ကိုယ်တိုင်သည်လည်း $x$ ၏ တဝိုင်ငယ်တစ်ခုပင် ဖြစ်လတ္တံ့။
3. $x$ ၏ တဝိုက်ငယ်တိုင်း၏ အရောစု (intersection) ရလဒ်သည်လည်း of two $x.$ ၏ တဝိုက်ငယ် တစ်မျိုးတဖုံ ဖြစ်တုံ၏။ ဆိုလိုသည်မှာ နံပါတ်-၂ မှတ်ရည်ချက်ကဲ့သို့ တဝိုက်ငယ်ချင်း အမိအရ မအုပ်ငုံမိသည့် တဝိုင်ငယ်အစုများကို ပေါင်းစုစဉ်းစားခြင်း အစုသည်လည်း တဝိုက်ငယ် မြောက်ကြောင်းတည်း။
4. $x$ ၏ တဝိုင်ငယ် $N$ တိုင်း၏ အတွင်း၌ ၎င်းထက် ဝန်းနယ်သေးငယ်လျက်သော $x$ ၏ နောက်ထပ် တဝိုင်ငယ် $M$ ပါဝင်အုပ်ငုံမိလျက် ၎င်း $M$ ငယ်လေးအတွင်းရှိ အမှတ်တိုင်း၏ တဝိုက်ငယ်အဖြစ် $N$ က ရှိနေနိုင်သေးသည်ဟု ယူဆအံ့။

အထက်ပါ သဘောတရားများ ပါဝင်အောင် တိုင်းဝန်းတာ $N$ တို့ကို ဖော်ဆောင် ဆက်သွယ်ပေးနိုင်သော ဖှန်ရှင်ကို ${\mathcal {N}}$ ဟု သင်္ကေတပြုလျက်၊ ${\mathcal {N}}$ နှင့်တကွသော အစုရပ်ဝန်းကြီး $X$ ကို အပိုင်းသဘော ရပ်ဝန်း (topological space) ဟု ခေါ်ဆိုတန်၏။